هدف اصلی این پایان نامه، بررسی نامساویهای هم محیطی خاصی روی خم های بسته غیر ساده در صفحه اقلیدسی است. در همین راستا، نامساوی کلاسیک بانچوف پاهل که شامل توان دوم عدد گردش است را برای جوابهای متجانس یا ابرش-لانگر مساله شار کاهش خم توسیع می دهیم. همچنین، نامساویهای هم محیطی شامل عدد گردش و عدد دوران دیگری نیز برای خانواده وسیعتری از منحنیها به ویژه منحنیهای متقارن دورانی ارائه می شوند.
