دوستعلی مژده

فرض کنید $G=(V,E)$ یک گراف با مجموعه رئوس $V=V(G)$ و مجموعه یال های $E=E(G)$ باشد. یک زیرمجموعه $S$ از رأس های $V$ را یک مجموعه احاطه گر از گراف $G$ می گویند، هرگاه هر رأس در $V-S$ مجاور حداقل یک رأس از $S$ باشد. یک تابع $f: V \to \{0, 1, 2, 3\}$ را یک تابع $\{3\}$-احاطه گر رومی (یا احاطه گر $3$ رومی ) می گوییم هرگاه برای هر رأس $v\in V$ که $f(v)=0$، آنگاه $v$ مجاورهایی داشته باشد که مجموع مقادیر $f$ روی آن ها حداقل $3$ باشد و هرگاه $f(v)=1$، آنگاه $v$ مجاورهایی داشته باشد که مجموع مقادیر $f$ روی آن ها حداقل $2$ باشد. عبارت $\sum_{u\in V}f(u)$ را وزن $f$ نامیده و با $w(f)$ نمایش می دهیم. این مفهوم درواقع یک تعمیمی از $\{2\}$-احاطه گر رومی و احاطه گر رومی دو برابر است و تا کنون مطالعه ای در آن صورت نگرفته است. کمترین اندازه یک تابع $\{3\}$-احاطه گر رومی را عدد $\{3\}$-احاطه گر رومی می نامند. در این طرح رابطه بین $\{3\}$-احاطه گر رومی با برخی از پارامترهای دیگر احاطه گر مطالعه می شود. کران هایی برای $\{3\}$-احاطه گر رومی برای گراف های همبند بر حسب مرتبه گراف ارائه می شود. مفهوم $\{3\}$-احاطه گر رومی کلی نیز بررسی شده و نتایجی ارائه می شود.